정사각형의 두 대각선의 길이는 서로 같고 수직 이등분된다.

4.G.A.24.MD.A.3 · adapt · 학년 4

아키타입: Quadrilateral Diagonal Properties · 2단계 진행 중

다음 그림은 한 변이 $16\,\text{cm}$ 인 정사각형 안에 원을 그리고, 그 원 위의 네 점을 이어 다시 정사각형 ㄱㄴㄷㄹ을 그린 것입니다. 선분 ㄴㅁ의 길이는 몇 $\text{cm}$ 인지 구하시오.

[그림] 한 변의 길이가 $16\,\text{cm}$ 인 큰 정사각형 안에 그 네 변에 접하는 원이 그려져 있다. 원 위의 네 점(큰 정사각형의 각 변의 중점)을 이어 만든 안쪽 정사각형 ㄱㄴㄷㄹ이 있으며, 안쪽 정사각형의 두 대각선 ㄱㄷ과 ㄴㄹ은 중심 ㅁ에서 만난다.

풀이 보기

이해

한 변이 16 cm인 큰 정사각형 안에 네 변에 접하는 원을 그렸습니다. 원이 닿는 네 점(큰 정사각형의 각 변의 중점)을 이어 안쪽 정사각형 ㄱㄴㄷㄹ을 만들었습니다. 그 두 대각선 ㄱㄷ과 ㄴㄹ은 중심 ㅁ에서 만납니다. 선분 ㄴㅁ의 길이를 구해야 합니다.

주어진 것

바깥 정사각형의 한 변의 길이는 16 cm입니다.
안에 그린 원은 큰 정사각형의 네 변의 중점에서 각 변에 접합니다.
그 네 중점은 ㄱ(위), ㄴ(오른쪽), ㄷ(아래), ㄹ(왼쪽)이며, 안쪽 정사각형 ㄱㄴㄷㄹ을 이룹니다.
안쪽 정사각형의 대각선 ㄱㄷ과 ㄴㄹ은 중심 ㅁ에서 만납니다.

구할 것

선분 ㄴㅁ의 길이.

조건

ㄱ(위쪽 중점)과 ㄷ(아래쪽 중점)은 세로 중심선 위에 있으므로, ㄱㄷ은 바깥 정사각형의 높이 전체에 걸칩니다.
ㄴ(오른쪽 중점)과 ㄹ(왼쪽 중점)은 가로 중심선 위에 있으므로, ㄴㄹ은 바깥 정사각형의 너비 전체에 걸칩니다.
정사각형의 두 대각선은 길이가 같고 점 ㅁ에서 서로를 이등분합니다.

계획

#1 그림 그리기 · 함께 쓰는 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

그림을 주의 깊게 읽습니다. 안쪽 정사각형의 대각선은 곧 바깥 정사각형의 중심선이므로 각 대각선은 바깥 변과 같습니다. 그 다음 대각선이 서로를 이등분하므로 절반으로 나눕니다.

실행

#1 그림 그리기 4.G.A.2

ㄴ은 오른쪽 변의 중점, ㄹ은 왼쪽 변의 중점입니다. 선분 ㄴㄹ은 바깥 정사각형의 한가운데를 가로질러 곧게 지나가므로, 그 길이는 바깥 정사각형의 한 변과 같은 16 cm입니다.

\overline{\text{ㄴㄹ}} = 16 \text{ cm}

정사각형의 마주 보는 두 변의 중점을 이으면 변 자체와 같은 길이의 선분이 됩니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.G.A.2

안쪽 정사각형의 대각선은 중심 ㅁ에서 서로를 이등분하므로 ㅁ은 ㄴㄹ의 중점입니다. 따라서 ㄴㅁ = ㄴㄹ / 2 = 16 / 2 = 8 cm입니다.

16 \div 2 = 8 \text{ cm}

정사각형의 대각선은 서로를 정확히 절반으로 자르므로, ㄴㅁ은 16 cm의 절반입니다.

답: 8 cm

검토

ㄴㅁ = 8 cm는 16 cm 너비의 절반으로, ㅁ이 도형의 정확한 중심(원의 중심이자 반지름 8 cm)임과 잘 맞습니다. 크기와 센티미터 단위도 알맞습니다.

작은 문제로 쪼개기(도구 7) 관점에서 보면, 대각선 ㄴㄹ은 바깥 변과 같고 또한 원의 지름(2 x 반지름 = 2 x 8 = 16 cm)과도 같습니다. 그 지름의 절반이 반지름 8 cm = ㄴㅁ이므로 답이 확인됩니다.

기준 · 최소 학년 4

4.G.A.2 Classify two-dimensional figures based on presence of parallel or perpendicular lines — 정사각형 대각선의 성질(같고, 수직이며, 서로를 이등분함)과 중점에서 중점까지가 한 변과 같음을 이용하는 데 사용했습니다.
4.MD.A.3 Apply area and perimeter formulas for rectangles in real-world problems — 정사각형의 한 변 길이로 대각선과 절반 대각선의 길이를 추론하는 데 사용했습니다.

💡 정사각형의 마주 보는 변의 중점을 이으면 변만큼 긴 선이 되고, 대각선은 서로 절반으로 나뉘어요 — 그래서 ㄴㅁ은 그냥 16 나누기 2예요!