센심 수학 · 심화 EN

4-2 · 삼각형

길이가 같은 변을 이용하여 이등변삼각형을 찾는다

4.MD.C.74.G.A.2 · take · 학년 4

아키타입: Isosceles and Equilateral Angle Chaining · 6단계 진행 중

사각형 ㄱㄴㄷㄹ은 정사각형이고 삼각형 ㄷㅁㄹ은 정삼각형입니다. ㉠의 크기를 구하시오.

figure
풀이 보기

이해

사각형 ㄱㄴㄷㄹ은 정사각형이고, 그 오른쪽 변 ㄹㄷ을 한 변으로 하는 정삼각형 ㄷㅁㄹ이 바깥쪽에 붙어 있습니다(ㅁ은 오른쪽을 향함). 선분 ㄴㅁ이 변 ㄹㄷ과 만나는 점을 ㅂ이라 할 때, 점 ㅂ에서 생기는 각 ㉠의 크기를 구하는 문제입니다.

주어진 것
  • ㄱㄴㄷㄹ은 정사각형이므로 네 변의 길이가 모두 같고 각 꼭짓점의 각이 90도입니다.
  • 삼각형 ㄷㅁㄹ은 변 ㄹㄷ 위의 정삼각형이므로 ㄹㄷ = ㄷㅁ = ㅁㄹ이고 각 각이 60도입니다.
  • 정사각형의 변 ㄴㄷ과 정삼각형의 변 ㄷㅁ은 길이가 같습니다(둘 다 정사각형의 한 변).
  • 선분 ㄴㅁ이 변 ㄹㄷ과 만나는 점이 ㅂ이고, ㉠은 점 ㅂ에서의 각입니다.
구할 것
  • 점 ㅂ에서의 각 ㉠의 크기.
조건
  • 이등변삼각형은 두 밑각이 같습니다.
  • 삼각형의 세 각의 합은 180도입니다.
  • 정사각형의 꼭짓점 각은 90도, 정삼각형의 각은 60도입니다.

계획

#7 작은 문제로 쪼개기 · 함께 쓰는 도구: #1 그림 그리기

핵심은 정사각형의 변 ㄴㄷ과 정삼각형의 변 ㄷㅁ이 길이가 같아 삼각형 ㄴㄷㅁ이 이등변삼각형임을 알아채는 것입니다. 그 밑각을 구한 뒤, 점 ㄷ의 직각이 들어 있는 삼각형 ㄴㅂㄷ을 이용해 점 ㅂ의 각 ㉠에 이릅니다.

실행

#7 작은 문제로 쪼개기 4.MD.C.7
꼭짓점 ㄷ에서 정사각형의 각 ㄴㄷㄹ = 90도이고, 바깥쪽 정삼각형의 각 ㄹㄷㅁ = 60도입니다. 두 각을 합치면 각 ㄴㄷㅁ = 90 + 60 = 150도입니다.
∠ㄴㄷㅁ=90∘+60∘=150∘\angle ㄴㄷㅁ = 90^\circ + 60^\circ = 150^\circ
한 점에서 만나는 각은 더해지므로, 정사각형 각에 삼각형 각을 더하면 점 ㄷ의 전체 각이 됩니다.
#7 작은 문제로 쪼개기 4.MD.C.7
정사각형의 변 ㄴㄷ과 정삼각형의 변 ㄷㅁ이 길이가 같으므로 ㄴㄷ = ㄷㅁ이고 삼각형 ㄴㄷㅁ은 이등변삼각형입니다. 두 밑각이 같으므로 각 ㄷㄴㅁ = 각 ㄷㅁㄴ = (180 - 150) ÷ 2 = 15도입니다.
∠ㄷㄴㅁ=∠ㄷㅁㄴ=180∘−150∘2=15∘\angle ㄷㄴㅁ = \angle ㄷㅁㄴ = \dfrac{180^\circ - 150^\circ}{2} = 15^\circ
길이가 같은 변은 같은 밑각을 만들고, 세 각의 합은 여전히 180도입니다.
#7 작은 문제로 쪼개기 4.MD.C.7
점 ㅂ은 변 ㄹㄷ 위에 있으므로 삼각형 ㄴㅂㄷ에서 점 ㄷ의 각(각 ㅂㄷㄴ)은 정사각형의 꼭짓점 90도이고, 각 ㅂㄴㄷ = 각 ㄷㄴㅁ = 15도입니다. 따라서 각 ㄴㅂㄷ = 180 - 90 - 15 = 75도입니다. 점 ㅂ의 각 ㉠은 그 위쪽 각으로, 각 ㄴㅂㄷ과 직선 위에서 짝을 이루므로 ㉠ = 180 - 75 = 105도입니다.
∠ㄴㅂㄷ=180∘−90∘−15∘=75∘,㉠=180∘−75∘=105∘\angle ㄴㅂㄷ = 180^\circ - 90^\circ - 15^\circ = 75^\circ,\quad ㉠ = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ
삼각형 ㄴㅂㄷ의 두 각을 알면 나머지 각이 나오고, ㉠은 변 ㄹㄷ을 따라 그 각과 직선 짝을 이룹니다.
답: 105 degrees

검토

㉠ = 105도는 둔각으로, 가로지르는 선 ㄴㅁ이 변 ㄹㄷ과 위쪽에서 이루는 넓은 각에 잘 맞습니다. 그 짝인 각 ㄴㅂㄷ = 75도는 예각이고, 둘을 더하면 직선 변 ㄹㄷ을 따라 180도가 되어 결과가 어긋나지 않습니다.

정사각형을 좌표 격자에 놓고(도구 1) 점 ㅁ과 ㅂ의 위치를 구해 ㉠을 직접 재어, 이등변삼각형으로 구한 105도를 확인할 수도 있습니다.

기준 · 최소 학년 4

  • 4.MD.C.7 Recognize angle measure as additive and solve addition and subtraction problems — 점 ㄷ에서 정사각형과 정삼각형의 각 더하기, 이등변삼각형의 밑각 구하기, 삼각형 ㄴㅂㄷ을 거쳐 ㉠에 이르기.
  • 4.G.A.2 Classify two-dimensional figures based on presence of parallel or perpendicular lines — 정사각형과 정삼각형의 변·각 성질을 이용해 이등변삼각형 ㄴㄷㅁ 알아채기.
💡 이미 배운 4학년 각 더하기와 정사각형의 변과 삼각형의 변이 같음을 알아채는 것만 있으면 풀 수 있어요!