원의 중심을 이어 만든 도형의 변은 반지름의 합이다.
3.MD.D.83.G.A.1 · adapt
오른쪽 그림에서 삼각형 ㄱㄴㄷ의 둘레가 일 때 세 원의 반지름의 합은 몇 cm입니까?
풀이 보기
이해
크기가 서로 다른 세 원이 서로 맞닿아 있습니다. 각 원의 중심을 이으면 삼각형 ㄱㄴㄷ이 됩니다. 각 변은 맞닿은 두 원의 반지름의 합과 같습니다. 삼각형의 둘레는 이고, 변 ㄱㄴ과 ㄱㄷ은 각각 입니다. 세 원의 반지름의 합을 구해야 합니다.
주어진 것
- 서로 맞닿은 세 원의 중심을 이어 삼각형 ㄱㄴㄷ을 만듭니다(위쪽 ㄱ, 왼쪽 아래 ㄴ, 오른쪽 아래 ㄷ).
- 각 변은 그 변을 이루는 맞닿은 두 원의 반지름의 합과 같습니다.
- 삼각형 ㄱㄴㄷ의 둘레는 입니다.
- ㄱㄴ = , ㄱㄷ = 입니다.
구할 것
- 세 원의 반지름의 합(cm).
조건
- 맞닿은 두 원은 중심 사이의 거리가 두 반지름의 합과 같습니다.
- 각 반지름은 정확히 두 변에서 한 번씩 세어집니다(각 원이 나머지 두 원과 맞닿으므로).
계획
#9 더 쉬운 문제로 줄이기 · 함께 쓰는 도구: #1 그림 그리기
각 변은 두 반지름의 합입니다. 세 변을 모두 더하면 각 반지름이 두 번씩 세어지므로, 둘레는 반지름 합의 2배가 됩니다. 주어진 ㄱㄴ과 ㄱㄷ은 합을 구하는 데 필요하지 않은데, 반지름의 합 패턴이 이를 분명하게 보여 줍니다.
실행
#1 그림 그리기 3.G.A.1
맞닿은 원은 중심 사이의 거리가 두 반지름의 합과 같으므로, ㄱㄴ = r_ㄱ + r_ㄴ, ㄱㄷ = r_ㄱ + r_ㄷ, ㄴㄷ = r_ㄴ + r_ㄷ 입니다.
삼각형의 각 변은 맞닿은 두 원을 잇고 있어서, 그 두 반지름을 끝과 끝으로 이어 놓은 것일 뿐입니다.
#9 더 쉬운 문제로 줄이기 3.OA.D.9
세 변을 모두 더하면 각 반지름이 정확히 두 번씩 세어집니다. 각 원이 나머지 두 원과 맞닿기 때문입니다. 그래서 둘레는 세 반지름 합의 2배와 같습니다.
'반지름마다 두 번씩'이라는 반복 패턴이 둘레 전체를 단순한 2배 관계로 바꿔 줍니다.
#9 더 쉬운 문제로 줄이기 3.OA.A.2
둘레가 반지름 합의 2배이므로, 를 2로 나눕니다.
2배를 되돌리는 것은 2로 나누는 것일 뿐입니다.
답: 22 cm
검토
반지름의 합()은 둘레 의 정확히 절반인데, 각 반지름이 두 번씩 세어지므로 맞습니다. 확인해 보면 ㄴㄷ = 이고, 로 변의 길이가 서로 잘 맞습니다.
먼저 ㄴㄷ을 구합니다: . 그런 다음 세 변의 식을 다른 방식으로 더하거나, r_ㄱ = 2, r_ㄴ = 7, r_ㄷ = 13(합 22) 같은 반지름을 추측해 변 을 만들고 ㄱㄴ = ㄱㄷ = 9가 되도록 조정해도, 반지름의 합은 항상 로 유지됩니다.
기준 · 최소 학년 3
3.G.A.1Understand that shapes in different categories share attributes — 삼각형의 각 변을 맞닿은 두 원의 반지름의 합으로 인식하는 데 활용3.OA.D.9Identify arithmetic patterns and explain using properties of operations — 변을 더할 때 각 반지름이 두 번씩 세어져 둘레가 반지름 합의 2배임을 알아보는 데 활용3.OA.A.2Interpret whole-number quotients of whole numbers — 둘레를 2로 나누어 반지름의 합을 구하는 데 활용
💡 3학년 사고만 있으면 충분해요. 각 반지름이 삼각형 둘레에서 두 번씩 나타나니까 둘레를 반으로 나누면 돼요!