규칙적으로 늘어나는 양은 식으로 쓸 수 있다.

4.OA.C.53.MD.D.83.OA.D.9 · adapt · 학년 4

아키타입: Generalize a Growing Pattern into a Rule · 12단계 진행 중

한 변의 길이가 $1\,\text{cm}$ 인 정사각형을 다음과 같은 규칙으로 겹치지 않게 이어 붙일 때, 네 번째 도형의 둘레는 몇 $\text{cm}$ 입니까?

그림 설명: 한 변의 길이가 $1\,\text{cm}$ 인 작은 정사각형을 빈틈없이 이어 붙여 점점 커지는 정사각형 모양을 만든다. 첫 번째 도형은 작은 정사각형 $1$ 개( $1\times1$ ), 두 번째 도형은 작은 정사각형 $4$ 개를 모은 $2\times2$ 정사각형, 세 번째 도형은 작은 정사각형 $9$ 개를 모은 $3\times3$ 정사각형이고, 같은 규칙으로 계속 이어진다( $\cdots$ ).

풀이 보기

이해

한 변이 1 cm인 단위 정사각형을 이어 붙여 점점 큰 정사각형을 만든다: 첫 번째 도형은 1×1 정사각형, 두 번째는 2×2, 세 번째는 3×3, 같은 규칙으로 계속된다. 네 번째 도형의 둘레를 구해야 한다.

주어진 것

각 단위 정사각형의 한 변의 길이는 1 cm이다.
첫 번째 도형은 1×1 정사각형(단위 정사각형 1개)이다.
두 번째 도형은 2×2 정사각형(단위 정사각형 4개)이다.
세 번째 도형은 3×3 정사각형(단위 정사각형 9개)이다.
같은 규칙으로 이어지므로 n번째 도형은 n×n 정사각형이다.

구할 것

네 번째 도형의 둘레(cm).

조건

n번째 도형은 한 변이 단위 정사각형 n개, 즉 n cm인 정사각형이다.
둘레는 바깥쪽을 한 바퀴 두른 전체 길이를 뜻한다.

계획

#5 패턴 찾기 · 함께 쓰는 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기#1 그림 그리기

각 도형이 정사각형이므로 먼저 각 도형의 한 변의 길이를 구하는 더 쉬운 문제를 풀고, n번째 도형의 한 변이 n cm라는 패턴을 찾은 뒤, 정사각형 둘레 규칙(한 변의 4배)을 네 번째 도형에 적용한다.

실행

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5

첫 번째 도형은 한 변 1 cm, 두 번째는 2 cm, 세 번째는 3 cm이다. n번째 도형의 한 변은 n cm이므로 네 번째 도형의 한 변은 4 cm이다.

\text{n번째 도형의 한 변} = n \text{ cm} \Rightarrow \text{네 번째 도형의 한 변} = 4 \text{ cm}

한 변이 한 단계마다 1 cm씩 커진다는 것을 알아채는 것이 규칙으로 도형 패턴을 만드는 4학년 개념이다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 3.MD.D.8

규칙을 쉬운 경우로 확인한다: 첫 번째 도형의 둘레 = 4 × 1 = 4 cm, 두 번째 = 4 × 2 = 8 cm, 세 번째 = 4 × 3 = 12 cm. 둘레는 늘 한 변의 4배이다.

4 \times 1 = 4, \quad 4 \times 2 = 8, \quad 4 \times 3 = 12

작은 도형을 먼저 풀어 보면 네 번째 도형으로 넘어가기 전에 '같은 네 변' 둘레 규칙이 드러난다.

#1 그림 그리기 4.MD.A.3

네 번째 도형은 가로 4 cm, 세로 4 cm인 정사각형이므로 둘레는 4 cm의 4배이다.

4 \times 4 = 16

정사각형 둘레로 한 변에 4를 곱하는 것은 기본적인 4학년 직사각형 둘레 공식이다.

답: 16 cm

검토

둘레가 4, 8, 12, 16으로 한 단계마다 4 cm씩 커지는데, 이는 한 변이 한 단계마다 1 cm씩 커지는 것과 잘 맞는다. 네 번째 도형의 16 cm는 이 패턴을 정확히 이어 간다. 바깥 변만 세므로 안쪽의 많은 격자선은 둘레에 더해지지 않아 옳다.

차이의 규칙(도구 14): 둘레 4, 8, 12가 매번 일정하게 4씩 커지므로 다음 항은 12 + 4 = 16 cm가 되어 결과가 확인된다.

기준 · 최소 학년 4

4.OA.C.5 Generate a number or shape pattern following a given rule — n번째 도형이 n×n 정사각형임을 알아보고 네 번째 도형까지 패턴을 이어 가는 데 사용.
3.MD.D.8 Solve real-world problems involving perimeters of polygons — 각 정사각형 도형의 한 변 길이로 둘레를 구하는 데 사용.
4.MD.A.3 Apply area and perimeter formulas for rectangles in real-world problems — 한 변이 4 cm인 정사각형에 둘레 = 4 × 한 변을 적용하는 데 사용.

💡 도형 번호가 한 변의 cm를 알려 주고, 정사각형의 둘레는 한 변의 4배예요. 그래서 네 번째 도형은 4 × 4 = 16 cm랍니다!