겹쳐서 생긴 도형의 변은 처음 도형들의 부분이다.

3.MD.D.84.MD.A.33.OA.D.8 · adapt · 학년 4

아키타입: Perimeter by Tracing Every Side · 11단계 진행 중

직사각형 ㉮와 정사각형 ㉯가 다음과 같이 겹쳐져 있습니다. 직사각형 ㉮의 둘레의 길이가 $26\,\text{cm}$ 일 때, 정사각형 ㉯의 한 변의 길이는 몇 $\text{cm}$ 입니까?

그림 설명: 직사각형 ㉮가 왼쪽 위에, 정사각형 ㉯가 오른쪽 아래에 놓여 서로 한 모서리에서 겹쳐져 있다. 직사각형 ㉮의 가로(위쪽 변)에는 $8\,\text{cm}$ 이 표시되어 있고, 두 도형이 겹친 직사각형 모양의 부분은 색칠되어 있다. 겹친 부분에서 직사각형 ㉮ 쪽으로는 세로 길이 $3\,\text{cm}$ , 정사각형 ㉯ 쪽으로는 세로 길이 $4\,\text{cm}$ 가 표시되어 있다.

풀이 보기

이해

직사각형 ㉮(왼쪽 위)와 정사각형 ㉯(오른쪽 아래)가 한 모서리에서 겹쳐 있고, 겹친 부분은 작은 직사각형으로 색칠되어 있다. 직사각형 ㉮의 둘레는 26 cm, 위쪽 변은 8 cm이다. 겹친 부분에서 ㉮ 쪽의 세로 길이는 3 cm, ㉯ 쪽의 세로 길이는 4 cm이다. 정사각형 ㉯의 한 변의 길이를 구해야 한다.

주어진 것

직사각형 ㉮의 둘레는 26 cm이다.
직사각형 ㉮의 위쪽 변은 8 cm이므로 가로가 8 cm이다.
겹친 부분에서 ㉮ 쪽의 세로 부분(㉯의 윗변이 ㉮를 가로지르는 곳부터 ㉮의 아래변까지)은 3 cm이다.
㉯의 왼쪽 변에서 ㉮의 아래변보다 아래에 있는 부분은 4 cm이다.
㉯는 정사각형이므로 네 변의 길이가 모두 같다.

구할 것

정사각형 ㉯의 한 변의 길이(cm).

조건

직사각형은 마주 보는 변이 같고, 정사각형은 모든 변이 같다.
㉯의 왼쪽 변은 곧게 내려가며, 겹친 부분 3 cm와 ㉮ 아래의 4 cm가 합쳐져 ㉯의 한 변 전체를 이룬다.

계획

#11 거꾸로 풀기 · 함께 쓰는 도구: #1 그림 그리기#7 작은 문제로 쪼개기

가로 8 cm와 둘레 26 cm로 거꾸로 풀어 ㉮의 세로를 구할 수 있지만, ㉯를 구하는 데 세로는 사실 필요 없다. 진짜 핵심은 그림이다: ㉯의 왼쪽 변은 ㉮의 아래변에 의해 위쪽 3 cm(겹친 부분)와 아래쪽 4 cm(㉮ 아래)로 나뉘고, 이 두 작은 문제 조각을 더하면 ㉯의 한 변 전체가 된다.

실행

#11 거꾸로 풀기 3.MD.D.8

㉮의 둘레는 26 cm, 가로는 8 cm이다. 거꾸로 풀면 가로 두 개가 8 + 8 = 16 cm를 쓰고, 26 - 16 = 10 cm가 세로 두 개에 남으므로 한 세로는 5 cm이다. (그림을 확인해 주지만 ㉯를 구하는 데는 필요 없다.)

26 - 2 \times 8 = 10, \quad 10 \div 2 = 5

둘레를 거꾸로 풀어 빠진 변을 찾는 것은 둘레를 이용한 자연스러운 3학년 '거꾸로 풀기'이다.

#1 그림 그리기 3.OA.D.8

㉯의 왼쪽 변은 직사각형 ㉮ 안쪽에서부터 곧게 내려온다. ㉮의 아래변이 이 변을 가로지르며 위쪽 조각(겹친 부분, 3 cm)과 아래쪽 조각(㉮ 아래, 4 cm)으로 나눈다.

\text{㉯의 한 변} = 3 + 4

㉮의 아래변이 ㉯를 어디서 가로지르는지 그려 보면 한 변이 표시된 두 조각으로 나뉘어 그냥 더하면 된다는 것을 알 수 있다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.MD.A.3

㉯는 정사각형이므로 3 cm와 4 cm 조각으로 이루어진 변이 ㉯의 한 변 전체이다.

3 + 4 = 7

겹친 부분과 아래 부분을 더해 변 전체를 구하는 것은 간단한 3학년 덧셈이다.

답: 7 cm

검토

㉯의 한 변 7 cm는 아래쪽 조각 4 cm와 겹친 조각 3 cm보다 길어야 하는데, 그 둘을 모두 품고 있으므로 당연히 그렇다. 직사각형 ㉮의 8 cm, 5 cm 변과도 크기가 비슷해, 이 정도 크기의 두 도형이 한 모서리에서 겹치는 것은 자연스럽다.

작은 식으로 바꾸기(도구 13): ㉯의 한 변을 s라 하면 그 변은 겹친 부분(3)에 튀어나온 부분(4)을 더한 것이므로 s = 3 + 4 = 7 cm가 되어 그림으로 따진 결과와 일치한다.

기준 · 최소 학년 4

3.MD.D.8 Solve real-world problems involving perimeters of polygons — ㉮의 둘레 26 cm와 가로 8 cm에서 거꾸로 풀어 세로 5 cm를 구하는 데 사용.
3.OA.D.8 Solve two-step word problems using four operations within 100 — 둘레 단계와 변 나누기 단계를 합쳐 답에 이르는 데 사용.
4.MD.A.3 Apply area and perimeter formulas for rectangles in real-world problems — 3 cm와 4 cm 조각으로 이루어진 정사각형의 같은 변을 따져 보는 데 사용.

💡 한 도형의 변이 다른 도형을 어디서 가로지르는지 찾고, 그 변의 두 조각을 더하면 돼요. 그냥 3 + 4예요!